[인공지능을 위한 선형대수] 전사함수와 일대일함수(단사함수)

이 글은 주재걸 교수님의 <인공지능을 위한 선형대수 - 전시함수와 일대일 함수> 강의를 중점으로 개념을 정리하였습니다.

[LECTURE] 전사함수와 일대일함수 : edwith

---

 

ONTO and ONE-TO-ONE

ONTO(전사 함수) 정의

전체가 image인, "공역 = 치역"인 함수이다. 공역의 결과값의 전체는 치역과 같게 된다. 정의역의 개수가 공역의 개수보다 많아야지 이루어질 수 있다. 즉, 공역에서 어떤 원소를 뽑아도 그 원소는 어떤 정의역에 하나 이상의 함수값이 되어야 한다. 공역 한 개에 정의역은 여러 개일 수 있지만, 공역은 한 개라도 정의역이 있어야하기 때문이다. (어떤 공역의 원소를 선택하더라도 하나 이상의 화살표를 맞아야 한다!)

전사 함수 예시

Q. T: R3 -> R2 또는 T: R2 -> R3 으로 매핑하는 과정 중, 절대 ONTO를 이루어질 수 없는 경우는?

R2 -> R3이다. 직관적으로 생각한다면, 2차원읙 공간은 얇은 종이이지만, 3차원을 다 덮을 수 없기 때문이다. 즉, 입력벡터의 차원이 출력벡터의 차원보다 작으면 onto가 될 수 없다.

공역의 차원이 정의역의 차원보다 클 경우, 전사 함수(onto)가 될 수 없다.

 

 Manifold Leanring

 

ONE-TO-ONE (일대일 함수, 단사 함수)

정의역의 화살을 한 번만 맞은 함수 

(3, 5, 7, 9) 치역의 입장에서 화살을 여러 번 맞아도 상관없지만, 

일대일 함수 예시

 

Q. R2 -> R3, R3 -> R2 중 ONE-TO-ONE이 절대 될 수 없는 경우?

 

직관적으로 살펴봤을 때, 정의역 (100개) -> 치역 (30개) : 중복이 되는 경우가 있을 수 있으므로, 일대일함수가 되지 않음

선형변형 관점에서는, T : y = Ax

24:45 이해 안 됨

 

Neural Network Example

의도적으로 수명을 예측하기 위해서 유의미한 정보만 남기며, 불필요한 정보는 '0'으로 만듦

 

Neural Network Example : ONTO

공역을 모두 뒤덮는지? 일부 치역이 

차원이 작더라도, 항상 ONTO가 되지 않는다.

저 스페이스에 일부분이 매핑되는 방식으로 해석될 수 있다. 

 

즉, One-to-one는 선형 독립(linearly independent)인가와 동일한 내용이 된다.